25浙江高考导数

数学问题详细解答

题目概述

给定函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$。

问题 (1)：求 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 的最大值

1.1 求导

首先，计算函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(5\cos x - \cos 5x)$$

$$f'(x) = -5\sin x - (-5\sin 5x)$$

$$f'(x) = 5\sin 5x - 5\sin x$$

$$f'(x) = 5(\sin 5x - \sin x)$$

1.2 寻找临界点

令 $f'(x) = 0$，即 $5(\sin 5x - \sin x) = 0$，得到 $\sin 5x = \sin x$。
根据三角函数性质，有两种情况：

1. $5x = x + 2k\pi \quad (\text{其中 } k \text{ 为整数})$
   $4x = 2k\pi$
   $x = \frac{k\pi}{2}$
   在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 内，没有满足此条件的 $x$ 值。

2. $5x = \pi - x + 2k\pi \quad (\text{其中 } k \text{ 为整数})$
   $6x = (2k+1)\pi$
   $x = \frac{(2k+1)\pi}{6}$
   当 $k=0$ 时，$x = \frac{\pi}{6}$。
   检查 $x = \frac{\pi}{6}$ 是否在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 内：由于 $\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$ 且 $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$，所以 $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$，即 $x = \frac{\pi}{6}$ 是区间内的一个临界点。

1.3 确定临界点处的性质

我们需要检查 $f'(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{6}$ 附近的符号变化来确定其是局部最大值还是最小值。

• 当 $0 < x < \frac{\pi}{6}$ 时 (例如取 $x = \frac{\pi}{12}$):
  $f'(\frac{\pi}{12}) = 5(\sin(\frac{5\pi}{12}) - \sin(\frac{\pi}{12}))$。
  由于 $\frac{5\pi}{12} > \frac{\pi}{12}$ 且 $\sin u$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上是增函数，所以 $\sin(\frac{5\pi}{12}) > \sin(\frac{\pi}{12})$。因此，$f'(\frac{\pi}{12}) > 0$。

• 当 $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}$ 时 (例如取 $x = \frac{\pi}{5}$):
  $f'(\frac{\pi}{5}) = 5(\sin(5 \cdot \frac{\pi}{5}) - \sin(\frac{\pi}{5})) = 5(\sin\pi - \sin(\frac{\pi}{5})) = 5(0 - \sin(\frac{\pi}{5})) = -5\sin(\frac{\pi}{5})$。
  由于 $\sin(\frac{\pi}{5}) > 0$，所以 $f'(\frac{\pi}{5}) < 0$。

综上，$f'(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{6}$ 处由正变负，表明 $x = \frac{\pi}{6}$ 是一个局部最大值点。

1.4 计算函数值和端点极限

计算局部最大值点处的函数值：

$$f(\frac{\pi}{6}) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(5 \cdot \frac{\pi}{6})$$

$$f(\frac{\pi}{6}) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(\pi - \frac{\pi}{6})$$

$$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{5\sqrt{3}}{2} - (-\cos(\frac{\pi}{6}))$$

$$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

由于是在开区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上求最大值，还需要考虑函数在端点附近的极限值：

• 当 $x \to 0^+$ 时：

  $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 5\cos 0 - \cos 0 = 5 - 1 = 4$$

• 当 $x \to \frac{\pi}{4}^-$ 时：

  $$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = 5\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(5 \cdot \frac{\pi}{4})$$

  $$= 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos(\pi + \frac{\pi}{4})$$

  $$= \frac{5\sqrt{2}}{2} - (-\cos(\frac{\pi}{4}))$$

  $$= \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

1.5 比较函数值

比较所有相关值：

• $f(\frac{\pi}{6}) = 3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196$
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 4$
• $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = 3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$

其中最大的值是 $3\sqrt{3}$。

结论 (1)： 函数 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 的最大值是 $3\sqrt{3}$。

问题 (2)：给定 $\theta \in (0, \pi)$，设 $a$ 为实数，证明：存在 $y \in (a-\theta, a+\theta)$，使得 $\cos y \le \cos\theta$。

这是一个错误的命题。

反例：
我们来构造一个反例来证明这个命题不成立。

1. 选择 $\theta$：取 $\theta = \frac{\pi}{4}$。
   这个值满足 $\theta \in (0, \pi)$ 的条件。
   此时 $\cos\theta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 选择 $a$：取 $a = 0$。
   这个值满足 $a$ 为实数的条件。

3. 根据命题，我们需要证明：存在 $y \in (a-\theta, a+\theta)$，即存在 $y \in (0-\frac{\pi}{4}, 0+\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$，使得 $\cos y \le \cos(\frac{\pi}{4})$。
   即，需要证明存在 $y \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$，使得 $\cos y \le \frac{\sqrt{2}}{2}$。

4. 分析区间 $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ 内 $\cos y$ 的取值：
   对于任意 $y \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$，我们有 $|y| < \frac{\pi}{4}$。
   由于 $\cos x$ 是偶函数，且在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上单调递减。
   在区间 $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ 内，$\cos y$ 的值域是 $(\cos(\frac{\pi}{4}), \cos 0] = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$。
   这意味着对于所有 $y \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$，都有 $\cos y > \frac{\sqrt{2}}{2}$。

5. 得出矛盾：
   我们发现，对于我们选择的 $a=0$ 和 $\theta=\frac{\pi}{4}$，在区间 $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ 内，$\cos y$ 的值始终严格大于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
   因此，不存在任何 $y$ 使得 $\cos y \le \frac{\sqrt{2}}{2}$。
   这与原命题的结论相矛盾。

结论 (2)： 原命题是错误的。

问题 (3)：若存在 $t$ 使得任意 $x$，都有 $5\cos x - \cos(5x+t) \le b$，求 $b$ 的最小值。

设函数 $g(x, t) = 5\cos x - \cos(5x+t)$。
题目要求找到一个 $t$ 使得 $g(x, t)$ 的最大值最小。用数学符号表示为 $\min_{t} \left( \max_{x} g(x, t) \right)$。

3.1 考虑特殊情况 $t=0$

当 $t=0$ 时，函数变为 $g(x, 0) = 5\cos x - \cos 5x$。
这正是问题 (1) 中的函数 $f(x)$。
在问题 (1) 的分析中，我们已经计算了 $f(x)$ 在关键点的值，并确定了其在整个实数轴上的最大值。
$f'(x) = 5(\sin 5x - \sin x)$。
临界点为 $x = \frac{k\pi}{2}$ 或 $x = \frac{(2k+1)\pi}{6}$。
计算这些点处的函数值（已在问题 (1) 中列出）：
$f(0) = 4$
$f(\frac{\pi}{2}) = 0$
$f(\pi) = -4$
$f(\frac{3\pi}{2}) = 0$
$f(\frac{\pi}{6}) = 3\sqrt{3}$
$f(\frac{5\pi}{6}) = -3\sqrt{3}$
$f(\frac{7\pi}{6}) = -3\sqrt{3}$
$f(\frac{11\pi}{6}) = 3\sqrt{3}$

比较这些值，当 $t=0$ 时，函数 $g(x, 0)$ 的最大值为 $3\sqrt{3}$。

3.2 考察其他 $t$ 值

我们需要证明，不存在其他 $t$ 值能使得 $\max_x g(x, t)$ 小于 $3\sqrt{3}$。
考虑 $g(x, t) = 5\cos x - \cos(5x+t)$。

• 当 $x=0$ 时：
  $g(0, t) = 5\cos 0 - \cos(5 \cdot 0 + t) = 5 - \cos t$。
  由于 $-1 \le \cos t \le 1$，所以 $4 \le 5 - \cos t \le 6$。
  这意味着在 $x=0$ 处，函数值至少为 $4$。
  由于 $3\sqrt{3} \approx 5.196$，而 $4 < 3\sqrt{3}$。

• 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时：
  $g(\frac{\pi}{6}, t) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(5\frac{\pi}{6} + t) = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \cos(\frac{5\pi}{6} + t)$。
  如果 $t=0$，这个值为 $3\sqrt{3}$。

• 当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时：
  $g(\frac{\pi}{2}, t) = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(5\frac{\pi}{2} + t) = 0 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi + t) = -\cos(\frac{\pi}{2} + t) = \sin t$。
  这个值可以在 $[-1, 1]$ 之间。

我们要求的是 $\min_t (\max_x g(x, t))$.
如果选择 $t$ 使得 $\cos t < 1$，那么 $g(0, t) = 5 - \cos t > 4$.
而 $3\sqrt{3} \approx 5.196$。
如果 $5 - \cos t > 3\sqrt{3}$，那么 $\max_x g(x,t)$ 肯定会大于 $3\sqrt{3}$。
只有当 $\cos t \ge 5 - 3\sqrt{3} \approx -0.196$ 时，才可能使 $g(0, t)$ 小于或等于 $3\sqrt{3}$。
当 $t=0$ 时，$\cos t = 1$， $g(0, 0) = 4$.
这表明 $t=0$ 是一个使 $g(0,t)$ 最小的选择。

在一般情况下，对于 $A\cos x - B\cos(nx+t)$ 这种形式的函数，其最大值通常出现在两个余弦项能“协同”达到最大值的地方。$t=0$ 使得 $\cos x$ 和 $\cos 5x$ 之间没有相位差，从而在一个合适的 $x$ 处能使得 $5\cos x$ 和 $-\cos 5x$ 都能达到相对较大的值。

考虑到 $g(x,t)$ 的结构，当 $t=0$ 时，我们得到了一个最大值为 $3\sqrt{3}$。对于其他 $t$ 值，我们通常期望最大值不会更小。例如，如果 $t=\pi$，则 $g(x,\pi) = 5\cos x + \cos 5x$，其在 $x=0$ 处的值为 $5+1=6$，这比 $3\sqrt{3}$ 大。

结论 (3)： $b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$。